11. Отношение с n аргументами на множестве

---

ВПЕРЁД ⇒

Формы записи математических операций

⇐ НАЗАД

Декартово произведение множеств

---

Отношение с n аргументами на множестве

Отношение с $n$ аргументами ($n$-местное отношение) на множестве $X$ - любое подмножество множества $X^n$, то есть любое множество упорядоченных $n$-ок, состоящих из элементов $X$. Под фразой “любое множество упорядоченных $n$-ок, состоящих из элементов $X$” подразумевается, что выбор требуемых упорядоченных $n$-ок может выполняться в соответствии с абсолютно любым правилом, зависящим от контекста рассматриваемой задачи. Говоря неформальным языком, термин отношение с n аргументами означает, что элементы (аргументы) внутри упорядоченной $n$-ки связаны друг с другом по определённому правилу (то есть связаны определённым отношением). Отношения могут быть абсолютно любого рода: математическими операциями, смысловыми связями между объектами и т.п.

Примеры отношений:

• Даны две произвольные точки $a$ и $c$ на некоторой плоскости. Пусть $b$ - точка на плоскости такая, что точки $a$, $b$ и $c$ связаны друг с другом отношением вида “точка $b$ лежит на прямой, соединяющей между собой точки $a$ и $c$“. В этом случае говорим, что нами рассматривается трёхместное отношение “между” на множестве $X$, элементами которого являются некоторые точки на плоскости, то есть рассматривается множество всех троек $⟨b,a,c⟩$ таких, что точка $b$ лежит между точками $a$ и $c$.
• Нас интересует отношение отцовства среди всех людей в Санкт-Петербурге, то есть всевозможные пары людей, про которых можно сказать, что один человек в паре является отцом другого человека из этой же пары. В этом случае говорим, что нами рассматривается двуместное отношение (также именуемое бинарным отношением) на множестве $X$ всех людей из Санкт-Петербурга, представляющее собой множество всех упорядоченных пар $⟨i,j⟩$ таких, что $i$ и $j$ - люди, и $i$ есть отец $j$.
• В некоторой школе очень много учеников тренируются в различных спортивных секциях, и нас интересуют ученики, занимающиеся только баскетболом. Пусть $l$ - любой ученик школы, занимающийся только баскетболом. В этом случае нами рассматривается одноместное отношение “ученик, играющий только в баскетбол” (то есть все упорядоченные $n$-ки $⟨l⟩$ для $n=1$) на множестве $X$ всех учеников, тренирующихся в любой из спортивных секций школы. Из примера видно, что в случае одноместного отношения из всего множества $X$ выбираются объекты, обладающие только некоторым определённым свойством (в данном случае этим свойством является участие ученика в активностях только одной спортивной секции, а именно, баскетбольной секции). Поэтому одноместное отношение на множестве $X$ также носит название свойства на $X$. Свойство на $X$ является подмножеством множества $X$.
• Нас интересуют всевозможные комбинации пар родственников одной семьи такие, что возраст одного родственника меньше возраста другого родственника. Мы можем говорить, что в данном случае рассматривается математическое бинарное отношение "$<$", то есть рассматриваются всевозможные комбинации пар людей $⟨i,j⟩$ на множестве $X$ родственников семьи таких, что $i<j$.

---

ВПЕРЁД ⇒

Формы записи математических операций

⇐ НАЗАД

Декартово произведение множеств

---

Источники

• Э. Мендельсон “Введение в математическую логику”. Глава 0 “Введение” (стр. 7-18).

Категория

Математическая-логика Математическая-логика

Теги

• Логика Логика
• Множество Множество
• Элемент-множества Элемент-множества
• Отношение Отношение
• Пара Пара
• Упорядоченная-пара Упорядоченная-пара
• Упорядоченная-n-ка Упорядоченная-n-ка
• n-местное-отношение n-местное-отношение
• Отношение-с-n-аргументами Отношение-с-n-аргументами
• Бинарное-отношение Бинарное-отношение
• Двуместное-отношение Двуместное-отношение
• Одноместное-отношение Одноместное-отношение