19. Связь композиции прямой и обратной взаимно однозначных функций с отношением тождества

---

ВПЕРЁД ⇒

Равномощные множества

⇐ НАЗАД

Композиция функций

---

Связь композиции прямой и обратной взаимно однозначных функций с отношением тождества

Пусть $f$ - взаимно однозначная функция:

$⟨x,y⟩\in f$, $x\in X$, $y\in Y$

Сначала рассмотрим композицию $f^{-1}(f(x))$:

$⟨x,f^{-1}(f(x))⟩\in (f^{-1}\circ f)$, $x\in X$

$⟨x,f^{-1}(f(x))⟩=⟨x,f^{-1}(y)⟩=⟨x,x⟩$

$⟨x,x⟩\in (f^{-1}\circ f)$, $x\in X$

Поскольку отношение $f^{-1}\circ f$ на множестве $X$ состоит только из упорядоченных пар $⟨x,x⟩$, то из этого делаем вывод, что оношение $f^{-1}\circ f$ является отношением тождества на множестве $X$

Вывод №1

$(f^{-1}\circ f)=I_X$, где $f$ - взаимно однозначная функция на множестве $X$, а $I_X$ - отношение тождества на множестве $X$

Теперь рассмотрим композицию $f(f^{-1}(y))$:

$⟨y,f(f^{-1}(y))⟩\in (f\circ f^{-1})$, $y\in Y$

$⟨y,f(f^{-1}(y))⟩=⟨y,f(x)⟩=⟨y,y⟩$

$⟨y,y⟩\in (f\circ f^{-1})$, $y\in Y$

Поскольку отношение $f\circ f^{-1}$ на множестве $Y$ состоит только из упорядоченных пар $⟨y,y⟩$, то из этого делаем вывод, что оношение $f\circ f^{-1}$ является отношением тождества на множестве $Y$:

Вывод №2

$(f\circ f^{-1})=I_Y$, где $f$ - взаимно однозначная функция на множестве $Y$, а $I_Y$ - отношение тождества на множестве $Y$

---

ВПЕРЁД ⇒

Равномощные множества

⇐ НАЗАД

Композиция функций

---

Источники

• Э. Мендельсон “Введение в математическую логику”. Глава 0 “Введение” (стр. 7-18).

Категория

Математическая-логика Математическая-логика

Теги

• Логика Логика
• Множество Множество
• Функция Функция
• Композиция-функций Композиция-функций
• Взаимно-однозначная-функция Взаимно-однозначная-функция
• Взаимно-однозначное-соответствие Взаимно-однозначное-соответствие