ВПЕРЁД ⇒
⇐ НАЗАД
Счётные, конечные и бесконечные множества
Множество называется счётным, если оно равномощно с каким-либо множеством положительных целых чисел . Другими словами, множество называется счётным, если все его элементов могут быть каким-либо образом последовательно пронумерованы, то есть всем элементам этого множества могут быть поставлены во взаимно однозначное соответствие все элементов из некоторого множества положительных целых чисел .
Наиболее простым примером счётного множества является непосредственно само множество положительных целых чисел. В самом названии счётное множество кроется идея существования некоторого способа последовательного перебора соседних (смежных) элементов счётного множества с присвоением им номеров, причём ни один из элементов счётного множества при последовательном переборе не будет пропущен. Очевидно, что положительные целые числа возможно последовательно перебирать в порядке их возрастания (от единицы до бесконечности).
Множество действительных чисел, наоборот, не является счётным, поскольку в нём невозможно найти соседние (смежные) элементы: какие бы два близких друг к другу числа мы ни взяли, всегда можно найти какое-нибудь ещё одно число, расположенное между ними. Таким образом, множество действительных чисел не поддаётся перебору.
Счётное ножество называется конечным, если оно пустое или если оно равномощно с каким-либо множеством положительных целых чисел , не превосходящих какого-нибудь целого положительного числа .
Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Бесконечным может являться как счётное множество, так и несчётное множество. Так, например, счётное множество положительных целых чисел может иметь бесконечно много элементов, значения которых изменяются в порядке их возрастания от единицы до бесконечности. Также, например, несчётное множество действительных чисел содержит бесконечно много элементов, даже если эти элемены расположены на числовом промежутке конечной длины, например, на промежутке единичной длины: [0, 1].
Множество называется не более чем счётным, если оно счётно (то есть если оно является либо конечным множеством, либо бесконечным счётным множеством). Очевидно, что всякое подмножество счётного множества не более чем счётно.
ВПЕРЁД ⇒
⇐ НАЗАД
Источники
- Э. Мендельсон “Введение в математическую логику”. Глава 0 “Введение” (стр. 7-18).
Категория
Теги