23. Счётные, конечные и бесконечные последовательности

---

ВПЕРЁД ⇒

Пропозиции и предикаты

⇐ НАЗАД

Счётные, конечные и бесконечные множества

---

Счётные, конечные и бесконечные последовательности

Счётной последовательностью называется любая функция $s(n)$, областью определения которой служит конечное или бесконечное счётное множество положительных целых чисел $\{1,2,...,n\}$. Обычно вместо $s(n)$ пишут $s_n$.

Определение счётного множества можно переформулировать и другими словами, если в качестве области определения счётной последовательности рассматривать не счётное множество положительных целых чисел, а любое другое счётное множество, являющееся посредником (промежуточным множеством) между областью определения и множеством значений целевой счётной последовательности:

Cчётной последовательностью называется любая функция, областью определения которой является счётное множество.

Как было замечено, в подобной формулировке для области определения счётной последовательности $s_n$ выполняется переход от рассмотрения счётного множества положительных целых чисел к рассмотрению некоторого другого счётного множества. В этом случае предполагается существование таких функций $g$ (отображающей множество положительных целых чисел на некоторое целевое счётное множество) и $s_n^{\prime }$ (отображающей указанное счётное множество на итоговые значения счётной последовательности), что целевая счётная последовательность $s_n$ может быть получена из множества положительных целых чисел путем применения композиции ($s_n^{\prime }\circ g$) к функциям $s_n^{\prime }$ и $g$.

Если счётная последовательность $s_n$ является обычной (не взаимно однозначной) функцией $s(n)$, то эта функция представляет собой отображение счётного множества $X$ с бОльшим кардинальным числом на счётное множество $Y$ с меньшим кардинальным числом. Если счётная последовательность $s_n$ является взаимно однозначной функцией $s(n)$ , то эта функция представляет собой отображение счётного множества $X$ на равномощное счётное множество $Y$.

Конечной последовательностью называется любая счётная последовательность, областью определения которой является конечное множество (например, множество целых положительных чисел $\{1,2,...,n\}$, не превосходящих какого-нибудь целого положительного числа $n$).

Бесконечной последовательностью называется любая счётная последовательность, не являющаяся конечной последовательностью. Иными словами, бесконечной последовательностью называется любая счётная последовательность, областью определения которой является бесконечное счётное множество.

---

ВПЕРЁД ⇒

Пропозиции и предикаты

⇐ НАЗАД

Счётные, конечные и бесконечные множества

---

Источники

• Э. Мендельсон “Введение в математическую логику”. Глава 0 “Введение” (стр. 7-18).

Категория

Математическая-логика Математическая-логика

Теги

• Логика Логика
• Множество Множество
• Функция Функция
• Счётная-последовательность Счётная-последовательность
• Конечная-последовательность Конечная-последовательность
• Бесконечная-последовательность Бесконечная-последовательность