24. Пропозиции и предикаты

---

ВПЕРЁД ⇒

Принцип математической индукции

⇐ НАЗАД

Счётные, конечные и бесконечные последовательности

---

Пропозиции и предикаты

Пропозиции

В математической логике термин пропозиция (proposition, высказывание) представляет собой утверждение, у которого нет переменных и которое имеет фиксированное (постоянное) значение истинности: оно может быть либо истинным (true), либо ложным (false). Иначе говоря, значение истинности пропозиции не может изменяться.

Пропозиции обычно обозначаются одиночными заглавными буквами: $P$, $Q$.

Примеры пропозиций (высказываний)

• $P:2+2=4$ (истинная пропозиция)

$P=true$

• $Q:Земляплоская$ (ложная пропозиция)

$Q=false$

Предикаты

Предикат (predicate, пропозициональная функция) - это функция, содержащая одну или несколько переменных, и которая становится пропозицией, если вместо этих переменных подставить конкретные значения.

Предикаты обычно обозначаются одиночными заглавными буквами с указанием в круглых скобках предикатных переменных: $P(x)$, $Q(x,y)$.

Формально, предикат - это функция $P(x_1,x_2,...,x_n)$, отображающая $n$-ю декартовую степень множества $X$ на множество истинностных значений:

$⟨⟨x_1,...,x_n⟩,y⟩\in P$, где $⟨x_1,...,x_n⟩\in X^n$ и $y\in \{ИСТИНА,ЛОЖЬ\}$

Примеры предикатов

• $P(x):x>5$ (предикат - функция до подстановки конкретного значения в переменную)

$P(3)=false$ (пропозиция, полученная из предиката после подстановки в переменную значения 3)

$P(7)=true$ (пропозиция, полученная из предиката после подстановки в переменную значения 7)

• $Q(x,y):x+y=10$ (предикат - функция до подстановки конкретных значений в переменные)

$Q(4,6)=true$ (пропозиция, полученная из предиката после подстановки в переменные значений 4 и 6)

$Q(1,2)=false$ (пропозиция, полученная из предиката после подстановки в переменные значений 1 и 2)

Отличия пропозиций от предикатов

ХАРАКТЕРИСТИКА	ПРОПОЗИЦИЯ	ПРЕДИКАТ
Содержит ли переменные?	Нет	Да
Имеет ли значение истинности?	Да (всегда истинно или ложно)	Не имеет, пока переменным не присвоены значения
Превращается ли во что-то другое?	Нет	Да (подстановка переменных превращает предикат в пропозицию)
Пример	Сахар - сладкий продукт	$x$ - сладкий продукт

---

ВПЕРЁД ⇒

Принцип математической индукции

⇐ НАЗАД

Счётные, конечные и бесконечные последовательности

---

Источники

Категория

Математическая-логика Математическая-логика

Теги

• Логика Логика
• Множество Множество
• Функция Функция
• Пропозиция Пропозиция
• Высказывание Высказывание
• Предикат Предикат