07. Логические связки утверждений

---

ВПЕРЁД ⇒

Множества

⇐ НАЗАД

Формальная система

---

Логические связки утверждений

В доказательствах, при выводе одних утверждений (заключений) из других утверждений (посылок), используются различные логические связки, говорящие о том, что из чего следует. “Особняком” здесь стоит логическая связка "если и только если", известная также как "тогда и только тогда", или "в том и только в том случае", или "необходимо и достаточно". Рассматривая это понятие сейчас, мы тем самым “забегаем вперёд”, так как это понятие неразрывно связано с понятием двусторонней импликации, рассматриваемой в алгебре высказываний. Но мы вынуждены “забегать вперёд”, так как нам придётся использовать эту логическую связку в утверждениях/доказательствах/темах, которые вводятся в рассмотрение ещё до алгебры высказываний. Поэтому здесь будет приведено объяснение данного понятия на понятном читателю “бытовом” уровне.

Логическая связка “если и только если” используется, когда мы хотим указать на неразрывную связь между истинностями двух утверждений, например:

• “Утверждение $А$ истинно, если и только если истинно утверждение $В$”
• “Утверждение $А$ истинно тогда и только тогда, когда истинно утверждение $В$”
• “Утверждение $А$ истинно в том и только том случае, когда истинно утверждение $В$”
• “Для истинности $А$ необходимо и достаточно, чтобы было истинно утверждение $В$”

По смыслу эта связка означает, что всегда, когда является истинным/ложным утверждение $А$, тогда же является и истинным/ложным утверждение $В$. И наоборот, когда является истинным/ложным утверждение $В$, тогда же является и истинным/ложным утверждение $А$. Таким образом, ни одно из утверждений не может быть истинным/ложным без истинности/ложности другого утверждения: либо оба утверждения - истинны, либо оба утверждения - ложны.

Но почему подобная связка имеет такую странную словесную конструкцию, которая выглядит как тавтология (то есть как необоснованное повторение одних и тех же слов в словосочетании)? Почему нельзя использовать короткие и понятные связки? Например:

• “Утверждение $А$ истинно, если истинно утверждение $В$”
• “Утверждение $А$ истинно, только если истинно утверждение $В$”
• “Утверждение $А$ истинно тогда, когда истинно утверждение $В$”
• “Утверждение $А$ истинно только тогда, когда истинно утверждение $В$”
• “Утверждение $А$ истинно в том случае, когда истинно утверждение $В$”
• “Утверждение $А$ истинно только в том случае, когда истинно утверждение $В$”

Проблема заключается в том, что нельзя просто взять и заменить одну связку другой. В различных формах записи связки отражают различное направление следования одного утверждения из другого. Например, если одни связки могут говорить нам о том, что из $А$ следует $В$, то другие связки могут говорить о том, что из $В$ следует $А$.

Так всё-таки, как же правильно пользоваться всеми этими связками? Объясним на примере.

Предположим, что у нас имеется некоторый электронный датчик открытия двери. Цель нашего исследования - понять правила работы датчика для случая, когда в описании этого датчика указана связка “Дверь открыта, если и только если датчик издаёт звуковой сигнал”, а также понять, чем эта связка отличается от других связок.

Обозначим за $А$ утверждение “дверь открыта”, за $В$ - “датчик издаёт звуковой сигнал”. Целевая связка сводится к виду ”$А$, если и только если $В$“. В этой связке нам необходимо понять, следует ли из утверждения $А$ утверждение $В$, а также следует ли из утверждения $В$ утверждение $А$. То есть мы пытаемся выяснить направление следования одного утверждения из другого.

Прежде, чем перейти к рассмотрению целевой связки ”$А$, если и только если $В$”, рассмотрим более простые связки: ”$А$, если $В$” и ”$А$, только если $В$“.

Связка “если”

Рассмотрим выражение “Дверь открыта, если датчик издаёт звуковой сигнал” (то есть утверждение вида ”$А$, если $В$”). Предложение говорит нам о том, что если датчик издаёт звуковой сигнал, то это гарантированно означает, что дверь является открытой. То есть наличие звукого сигнала - это достаточное условие, то есть такое условие, при выполнении которого мы можем точно быть уверены в том, что дверь открыта. Иными словами, человек может и не видеть по какой-то причине саму дверь, но если он слышит звуковой сигнал датчика, то он точно знает, что дверь открыта. Однако, если датчик не издаёт никаких звуковых сигналов, то это ещё не значит, что дверь точно является закрытой, она может быть и открытой. Утверждение гарантирует лишь только то, что дверь точно не будет закрытой при наличии звукового сигнала. В отсутствии звукового сигнала дверь может быть как открытой, так и закрытой. Таким образом, в утверждении ”$А$, если $В$” из $В$ (“датчик издаёт звуковой сигнал”) следует $А$ (“дверь открыта”), но не наоборот.

Возможные комбинации состояний двери и датчика для связки “Дверь открыта, если датчик издаёт звуковой сигнал”:

Датчик	Дверь
Звук есть	Открыта
Звука нет	Открыта
Звука нет	Закрыта

В данном случае из таблицы видно, что мы можем установить однозначную связь от состояния датчика к состоянию двери только для случая, когда датчик издаёт звуковой сигнал (дверь при этом всегда открыта). Если звука нет, то нельзя точно сказать, открыта ли дверь. Таким образом, для связки вида ”$А$, если $В$” (из $B$ следует $A$) имеем следующую таблицу соответствия.

Датчик	Дверь
$B$	$A$
не $B$	$A$
не $B$	не $A$

Эту же таблицу можно переписать в другом виде, поменяв местами столбцы:

Дверь	Датчик
$A$	$B$
$A$	не $B$
не $A$	не $B$

Перенесём в обновлённой таблице последнюю строку на первое место, а вторую строку на последнее место:

Дверь	Датчик
не $A$	не $B$
$A$	не $B$
$A$	$B$

В таком виде записи обновлённая таблица очень схожа с исходной таблицей, с той лишь разницей, что в обновлённой таблице теперь вместо выражения "$B$" использьуется выражение “не $A$”, а вместо выражения "$A$" используется выражение “не $B$“.

Исходная таблица (”$А$, если $B$“)

Датчик	Дверь
$B$	$A$
не $B$	$A$
не $B$	не $A$

Обновлённая таблица (не $B$, если не $A$“)

Дверь	Датчик
не $A$	не $B$
$A$	не $B$
$A$	$B$

Сравнивая исходную и обновлённую таблицы, можем сделать вывод, что синонимом связки ”$А$, если $B$” (из $B$ следует $A$) является связка “не $B$, если не $A$” (из “не $A$” следует “не $B$”). В контексте рассматриваемой задачи это означает, что синонимом утверждения “Дверь открыта, если датчик издаёт звуковой сигнал” является утверждение “Датчик не издаёт звуковой сигнал, если дверь закрыта”. Такой вывод является вполне логичным и очевидным, поскольку если предположить иное (то есть что дверь закрыта, а датчик при этом всё равно издаёт звуковой сигнал), то сделанное предположение будет противоречить исходному утверждению “Дверь открыта, если датчик издаёт звуковой сигнал”. Иначе говоря, если включение звукового сигнала означает наличие открытой двери, то очевидно, что нельзя включать этот звуковой сигнал, пока дверь закрыта.

Связка “только если”

Рассмотрим выражение “Дверь открыта, только если датчик издаёт звуковой сигнал” (то есть утверждение вида ”$А$, только если $В$”). На самом деле, более точно, выражение выглядит так: “Дверь, возможно, будет открыта, только если датчик будет издавать звуковой сигнал”. Для того, чтобы у нас была возможность рассуждать о том, является ли дверь открытой или нет, как минимум, необходимо, чтобы датчик издавал звуковой сигнал, в противном случае, когда датчик не издаёт звуковых сигналов, дверь никак не может быть открытой. То есть синонимом утверждения “Дверь открыта, только если датчик издаёт звуковой сигнал” (”$А$, только если $В$”) является утверждение “Дверь закрыта, если датчик не издаёт звуковой сигнал” (“не $А$, если не $В$”). Таким образом, в отсутствии звукового сигнала дверь всегда закрыта. В этом случае говорят, что подача звукого сигнала датчиком является необходимым условием открытости двери, то есть таким условием, без выполнения которого нет смысла рассуждать о том, открыта ли дверь или нет. С другой стороны, необходимое условие открытости двери также означает, что при открытой двери датчик обязан издавать звуковой сигнал, так как если бы он не делал этого, то нарушалось бы само необходимое условие (ведь мы знаем, что в отсутствии звукового сигнала дверь может быть только закрытой). Поэтому мы можем переписать исходное утверждение другим способом (с использованием связки “если”): “Датчик издаёт звуковой сигнал, если дверь открыта” (то есть исходное утверждение заменено на утверждение вида ”$В$, если $А$”). Иными словами, человек может и не слышать по какой-то причине звуковой сигнал датчика, но если он видит открытую дверь, то он точно знает, что датчик где-то там издаёт звуковой сигнал. Однако, если дверь закрыта, то это ещё не значит, что датчик не издаёт звукового сигнала, ведь необходимое условие открытости двери по сути только требует, чтобы в отсутствии звукового сигнала дверь была закрытой, а для включённого звукового сигнала никаких отдельных требовний не предъявляется (дверь может быть как открытой, так и закрытой).

Таким образом, мы пришли к выводу, что утверждение ”$А$, только если $В$” синонимично утверждению ”$В$, если $А$”, то есть в утверждении ”$А$, только если $В$” из $А$ (“дверь открыта”) следует $В$ (“датчик издаёт звуковой сигнал”), а также синонимично утверждению “не $А$, если не $В$”, то есть в утверждении ”$А$, только если $В$” из “не $В$” (“датчик не издаёт звуковой сигнал”) следует “не $А$” (“дверь закрыта”).

Убедимся в этом, рассмотрев таблицу со всеми возможными комбинациями состояний двери и датчика для связки “Дверь открыта, только если датчик издаёт звуковой сигнал”:

Датчик	Дверь
Звук есть	Открыта
Звук есть	Закрыта
Звука нет	Закрыта

Исходная таблица (”$А$, только если $В$“)

Датчик	Дверь
$B$	$A$
$B$	не $A$
не $B$	не $A$

Обновлённая таблица (”$В$, если $А$“)

Дверь	Датчик
$A$	$B$
не $A$	$B$
не $A$	не $B$

Обновлённая таблица (“не $А$, если не $В$“)

Датчик	Дверь
не $B$	не $A$
$B$	не $A$
$B$	$A$

Связка “если и только если”

Мы пришли к следующим заключениям:

• Для рассуждений вида ”$А$, если $В$” из $В$ следует $А$.
• Для рассуждений вида ”$А$, только если $В$” из $А$ следует $В$.

Итоговое рассуждение ”$А$, если и только если $В$”, предполагает одновременное выполнение рассуждений ”$А$, если $В$” и ”$А$, только если $В$“. Иными словами, рассуждение ”$А$, если и только если $В$” означает одновременное выполнение двух утверждений: “из $А$ следует $В$” и “из $В$ следует $А$“.

Для рассматриваемого нами примера “Дверь открыта, если и только если датчик издаёт звуковой сигнал” это всё означает одновременное выполнение двух утверждений противоположной направленности следования: “Дверь открыта, если датчик издаёт звуковой сигнал” и “Датчик издаёт звуковой сигнал, если дверь открыта”.

Сначала рассмотрим первое утверждение: “Дверь открыта, если датчик издаёт звуковой сигнал”. Мы могли бы предположить, что отсутствие звукового сигнала ещё не означает, что дверь закрыта. Но тут в игру вступает второе утверждение: “Датчик издаёт звуковой сигнал, если дверь открыта”. Предположим существование ситуации, когда дверь открыта, но звуковой сигнал при этом отсутствует. Такая ситуация противоречила бы второму утверждению, из которого следует, что если дверь является открытой, то датчик не может не издавать звуковой сигнал. Отсюда делаем вывод, что отсутствие звукового сигнала означает, что дверь закрыта.

Теперь рассмотрим второе утверждение “Датчик издаёт звуковой сигнал, если дверь открыта”. Мы могли бы предположить, что наличие закрытой двери ещё не означает, что датчик не издаёт звуковой сигнал. Но тут в игру вступает первое утверждение: “Дверь открыта, если датчик издаёт звуковой сигнал”. Предположим существование ситуации, когда датчик издаёт звуковой сигнал, но дверь при этом закрыта. Такая ситуация противоречила бы первому утверждению, из которого следует, что если датчик издаёт звуковой сигнал, то дверь не может быть закрытой. Отсюда делаем вывод, что наличие закрытой двери означает, что датчик не издаёт звуковой сигнал.

Из всего выше сказанного делаем вывод, что утверждение “Дверь открыта, если и только если датчик издаёт звуковой сигнал” означает, что либо дверь открыта и датчик издаёт звуковой сигнал, либо дверь закрыта и датчик не издаёт звуковой сигнал, третьего не дано.

На примере двери и датчика, для логических связок ”$А$, если и только если $В$”, ”$А$ в том и только в том случае, когда $В$”, ”$А$ тогда и только тогда, когда $В$” и “Для $А$ необходимо и достаточно $В$”, мы показали, что:

• утверждения $А$ и $В$ обладают двунаправленными связями следования;
• утверждения $А$ и $В$ либо одновременно истинны, либо одновременно ложны.

---

ВПЕРЁД ⇒

Множества

⇐ НАЗАД

Формальная система

---

Источники

• Тогда и только тогда (Wiki)
• If and only if (Wiki)

Категория

Математическая-логика Математическая-логика

Теги

• Логика Логика
• Посылка Посылка
• Заключение Заключение
• Тогда-и-только-тогда Тогда-и-только-тогда
• Тогда Тогда
• Только-тогда Только-тогда
• Если-и-только-если Если-и-только-если
• Если Если
• Только-если Только-если
• В-том-и-только-в-том-случае В-том-и-только-в-том-случае
• В-том-случае В-том-случае
• Только-в-том-случае Только-в-том-случае
• Необходимо-и-достаточно Необходимо-и-достаточно
• Необходимое-условие Необходимое-условие
• Достаточное-условие Достаточное-условие
• Необходимое-и-достаточное-условие Необходимое-и-достаточное-условие