14. Отношение тождества

---

ВПЕРЁД ⇒

Классы R-эквивалентности

⇐ НАЗАД

Бинарные отношения

---

Отношение тождества

Различные определения для отношения тождества

Определение отношения тождества №1

Под отношением тождества подразумевается равенство двух выражений, выполняющееся на всём множестве допустимых значений переменных, входящих в эти выражения. Например, уравнение $x=x$ - это отношение тождества, так как оно выполняется для любого $x$. С другой стороны, уравнение $x+5=10$ отношением тождества не является, поскольку уравнение выполняется только при $x=5$.

Отношение тождества на множестве $X$ записывается в виде ”$x\equiv y$, $x\in X$, $y\in X$”, обозначается через $I_X$ и означает равенство элементов $x$ и $y$ во всех упорядоченных парах $⟨x,y⟩$ из отношения $I_X$.

Представим, что у нас имеется два мешка: красный и синий. В красном мешке расположены пронумерованные красные бочонки, в синем мешке - пронумерованные синие бочонки. Количество бочонков в каждом из мешков, а также их нумерация совпадают (различаются только цвета бочонков). Будем проводить следующий эксперимент: сначала встряхиваем содержимое обоих мешков, чтобы бочонки в мешках перемешались, затем вслепую достаем по бочонку из каждого мешка. Результаты эксперимента будем записывать на доске в специально заготовленную таблицу: в левый столбец записываем номер красного бочонка, в правый столбец - номер синего бочонка. Будем повторять этот эксперимент до тех пор, пока в таблицу не попадут всевозможные упорядоченные пары комбинаций номеров для красных и синих бочонков. После этого удалим из таблицы пары-дубликаты, возникшие во время проведения экспериментов. Затем удалим из таблицы те пары, в которых первый и второй аргументы (номера бочонков) не совпадают. В таблице останутся только те пары, в которых оба аргумента совпадают (то есть совпадают номера бочонков). Про эти пары можно сказать, что они были получены в результате экспериментов, когда из красного и синего мешков были извлечены бочонки с одинаковыми номерами. На самом деле, вместо номеров бочонков в экспериментах мы могли бы рассматривать/сравнивать какую-угодно другую характеристику/сущность/объект. Поэтому, мы можем обобщить и сказать, что указанные уникальные пары таблицы содержат внутри себя одинаковые элементы, а сами пары все вместе образуют некоторое множество $R$. Так как множество $R$ состоит из упорядоченных пар некоторых объектов (в нашем случае этими объектами являются номера бочонков), то из этого следует, что множество $R$ - это бинарное отношение на множестве объектов $X$ (в нашем случае, на множестве номеров бочонков). Очевидно, что тношение $R$ состоит только из упорядоченных пар $⟨z,z⟩$, где $z\in X$.

Определение отношения тождества №2

Отношение $R$ на множестве объектов $X$, состоящее только из упорядоченных пар $⟨z,z⟩$, называется отношением тождества и обозначается через $I_X$ (или через символ "$\equiv$").

Примеры форм записи отношения тождества в тексте:

• $⟨x,x⟩\in I_X$, $x\in X$
• $⟨x,x⟩\in \equiv$, $x\in X$
• $x\equiv x$, $x\in X$
• $x\equiv y$, $x\in X$, $y\in X$

Очевидно, что отношение тождества рефлексивно, так как оно имеет вид $zRz$ для $z\in X$. Также отношение тождества симметрично, поскольку после смены местами аргументов получаем то же самое отношение $zRz$ для $z\in X$, то есть отношение $R$ после смены местами аргументов всё ещё выполняется. Наконец, отношение тождества транзитивно, так как из $z_{1}R{z}_2$ и $z_{2}R{z}_3$ следует $z_{1}R{z}_3$. Это очевидно по причине того, что в упорядоченных парах элементы удовлетворяют условиям $z_1=z_2$ и $z_2=z_3$, из чего в свою очередь следует $z_1=z_3$. Поскольку отношение тождества является одновременно рефлексивным, симметричным и транзитивным, то делаем заключение, что отношение тождества является отношением эквивалентности.

Нахождение множества в отношении тождества с самим собой

Важное замечание

Любое множество $X$ находится в отношении тождества с самим собой.

Доказательство:

Рассмотрим отношение $⟨x,z⟩\in R$, где $x\in X$, $z\in Z$. Если в данном отношении использовать $z$ и $Z$ такие, что $z=x$ и $Z=X$, то отношение $R$ на множестве $X$ будет состоять только из упорядоченных пар $⟨x,x⟩\in R$, где $x\in X$, что соответствует определению отношения тождества №2: $⟨x,x⟩\in I_X$, где $x\in X$. Отсюда делаем вывод, что $R$ представляет собой отношение тождества $I_X$.

Различие понятий тождества и эквивалентности

Слова "тождество" и "эквивалентность" могут восприниматься нами в качестве синонимов, особенно после того, как мы узнали, что отношение тождества является отношением эквивалентности. Но это заблуждение. Синонимом слова "эквивалентность" является слово "аналогичность": в случае отношения параллельности прямых (которое является отношением эквивалентности) параллельные прямые представляют собой различные объекты, имеющие одинаковую ориентацию в пространстве, то есть направление каждой из прямых является аналогичным направлениям других прямых. Синонимом же слова "тождество" является слово "неотличимость", то есть это означает, что если два объекта тождественно равны друг другу, то они неотличимы друг от друга, так как все их характеристики абсолютно одинаковы. Тождество - это частный случай эквивалентности, а эквивалентность - более общее понятие, когда только часть характеристик объектов может совпадать (в случае параллельных прямых объекты-прямые имеют различные местоположения в пространстве, но при этом обладают одинаковыми направлениями размещения в пространстве).

---

ВПЕРЁД ⇒

Классы R-эквивалентности

⇐ НАЗАД

Бинарные отношения

---

Источники

• Э. Мендельсон “Введение в математическую логику”. Глава 0 “Введение” (стр. 7-18).
• Тождество в математике (Wiki)

Категория

Математическая-логика Математическая-логика

Теги

• Логика Логика
• Множество Множество
• Элемент-множества Элемент-множества
• Отношение Отношение
• Пара Пара
• Упорядоченная-пара Упорядоченная-пара
• Бинарное-отношение Бинарное-отношение
• Двуместное-отношение Двуместное-отношение
• Тождество Тождество
• Отношение-тождества Отношение-тождества
• Рефлексивность Рефлексивность
• Симметричность Симметричность
• Транзитивность Транзитивность
• Эквивалентность Эквивалентность