18. Композиция функций

---

ВПЕРЁД ⇒

Связь композиции прямой и обратной взаимно однозначных функций с отношением тождества

⇐ НАЗАД

Взаимно однозначные функции

---

Композиция функций

Предположим, что у нас имеются две функции $k$ и $g$ такие, что:

• $⟨a,b⟩\in k$, где $a\in A$, $b\in B$ и $B$ - образ множества $A$ при отображении посредством функции $k$ (то есть функция $k$ отображает множество $A$ на множество $B$).
• $⟨c,d⟩\in g$, где $c\in C$, $d\in D$ и $D$ - образ множества $C$ при отображении посредством функции $g$ (то есть функция $g$ отображает множество $C$ на множество $D$).

Также предположим, что $D\subseteq A$. Из этого следует, что $g$ отображает множество $C$ в множество $A$.

Рассмотрим новую функцию $f=k_D$, представляющую собой ограничение функции $k$ множеством $D$. Новую функцию можно записать в следующем виде:

$⟨d,l⟩\in f$, где $d\in D$, $l\in L$ и $L\subseteq B$

Про функцию $f$ можно сказать, что она отображает множество $D$ на множество $L$ (или в множество $B$).

Поскольку $D$ - образ множества $C$ при отображении посредством функции $g$, то функцию $f$ можно переписать в следующем виде:

$⟨g(c),l⟩\in f$, где $c\in C$, $g(c)\in D$, $l\in L$ $f(g(c))$, где $c\in C$, $g(c)\in D$

Результирующая функция $m(c)=f(g(c))$ носит название композиции функций $f$ и $g$ и обозначается как:

• $f\circ g$
• $fg$
• $(f\circ g)(c)=f(g(c))$

Композиция $(f\circ g)(x)$ определена тогда и только тогда, когда определены $g(x)$ и $f(g(x))$.

Например, если $g(x)=x^2$ и $f(x)=x+1$, то $(f\circ g)(x)=f(g(x))=g(x)+1=x^2+1$ и $(g\circ f)(x)=g(f(x))=(f(x){)}^2=(x+1{)}^2$.

Если $f$ является отображением множества $X$ на множество $Y$, а $g$ является отображением множества $Y$ на множество $Z$, то $g\circ f$ является отображением множества $X$ на множество $Z$. В частности, если $f$ является взаимно однозначным соответствием между множествами $X$ и $Y$, а $g$ является взаимно однозначным соответствием между множествами $Y$ и $Z$, то $g\circ f$ является взаимно однозначным соответствием между множествами $X$ и $Z$. Убедимся, что $g\circ f$ является отображением множества $X$ на множество $Z$:

$⟨x,y⟩\in f$, $x\in X$, $y\in Y$ $⟨y,z⟩\in g$, $y\in Y$, $z\in Z$

$⟨x,g(f(x))⟩\in (g\circ f)$, $x\in X$

$⟨x,g(f(x))⟩=⟨x,g(y)⟩=⟨x,z⟩$

Таким образом, $⟨x,z⟩\in (g\circ f)$, $x\in X$, $z\in Z$.

---

ВПЕРЁД ⇒

Связь композиции прямой и обратной взаимно однозначных функций с отношением тождества

⇐ НАЗАД

Взаимно однозначные функции

---

Источники

• Э. Мендельсон “Введение в математическую логику”. Глава 0 “Введение” (стр. 7-18).

Категория

Математическая-логика Математическая-логика

Теги

• Логика Логика
• Множество Множество
• Функция Функция
• Ограничение-функции-множеством Ограничение-функции-множеством
• Композиция-функций Композиция-функций
• Взаимно-однозначная-функция Взаимно-однозначная-функция
• Взаимно-однозначное-соответствие Взаимно-однозначное-соответствие