09. Задание множества при помощи его элементов

---

ВПЕРЁД ⇒

Декартово произведение множеств

⇐ НАЗАД

Множества

---

Задание множества при помощи его элементов

Пусть имеется $n$ некоторых объектов, обозначим эти объекты как $x_1,x_2,...,x_n$. Все эти объекты вместе образуют множество $X$. Тогда мы можем следующим образом показать, из каких элементов состоит множество $X$:

$X=\{x_1,x_2,...,x_n\}$

В данном случае выражение вида "$\{x_1,x_2,...,x_n\}$" является другим способом обозначения множества $X$, то есть $\{x_1,x_2,...,x_n\}$ - множество, состоящее только из объектов $x_1,x_2,...,x_n$. Причём $\{x_1,x_2,...,x_n\}$, $\{x_2,x_1,...,x_n\}$, $\{x_n,x_1,...,x_2\}$, $\{x_n,x_2,...,x_1\}$ (и т.д.) будут обозначать одно и то же множество $X$, то есть нам не важен порядок перечисления элементов при задании множества.

$\{x,у\}$ - это множество, состоящее из двух элементов: $x$ и $y$. Если при этом $x\ne y$, то $\{x,у\}$ называется неупорядоченной парой (или просто парой) объектов $x$ и $y$. Если же $y=x$, то множество $\{x,у\}=\{x,x\}=\{x\}$ называется одноэлементым множеством с элементом $x$. Как можно видеть, при рассмотрении множества, дублирующиеся элементы исключаются из рассмотрения. Поскольку ранее было замечено, что порядок указания элементов в множестве не имеет значения, то из этого можно сделать следующий вывод для неупорядоченных пар объектов $x$ и $y$: $\{x,у\}=\{y,x\}$.

Если же нам важен порядок следования элементов, то в этом случае мы будем рассматривать не просто множества, а упорядоченные наборы элементов. Если упорядоченный набор состоит из $n$ элементов, имеющих порядок следования в наборе $x_1,x_2,...,x_n$, то мы называем этот набор упорядоченной n-кой объектов $x_1,x_2,...,x_n$ и для её обозначения используем выражение "$⟨x_1,x_2,...,x_n⟩$". Таким образом, упорядоченную $n$-ку $⟨x_1,x_2,...,x_n⟩$ в некоторой степени тоже можно считать множеством, в котором за его элементами закрепляются определённые позиции, но при этом упорядоченная $n$-ка обладает некоторой важной особенностью, отличающей её от множества: упорядоченная $n$-ка может содержать дублирующиеся элементы.

Основное свойство упорядоченных n-к: $⟨x_1,x_2,...,x_n⟩=⟨y_1,y_2,...,y_n⟩$ тогда и только тогда, когда $x_1=y_1,x_2=y_2,...,x_n=y_n$. В частности, $⟨x_1,x_2⟩=⟨x_2,x_1⟩$ в том и только в том случае, если $x_1=x_2$. То есть, в противоположность ситуации с неупорядоченным множеством, когда его дублирующиеся элементы убираются из рассмотрения (откуда следует ранее упомянутый пример одноэлементного множества $\{x,x\}=\{x\}$), в упорядоченных $n$-ках один и тот же элемент множества может быть одновременно размещён в нескольких позициях упорядоченной $n$-ки. Дополнительно отметим, что упорядоченная двойка объектов $⟨x_1,x_2⟩$ носит название упорядоченной пары.

---

ВПЕРЁД ⇒

Декартово произведение множеств

⇐ НАЗАД

Множества

---

Источники

• Э. Мендельсон “Введение в математическую логику”. Глава 0 “Введение” (стр. 7-18).

Категория

Математическая-логика Математическая-логика

Теги

• Логика Логика
• Множество Множество
• Элемент-множества Элемент-множества
• Пара Пара
• Неупорядоченная-пара Неупорядоченная-пара
• Упорядоченная-пара Упорядоченная-пара
• Упорядоченная-n-ка Упорядоченная-n-ка
• Одноэлементное-множество Одноэлементное-множество