04. Переменные

---

ВПЕРЁД ⇒

Формулы языка

⇐ НАЗАД

Выражения языка и их символы

---

Переменные

Что мы знаем о переменных со школьных времён?

Представьте, что у вас есть набор конструктора лего, состоящий из большого числа одинаковых кирпичиков. Из этих кирпичиков вы можете собрать нравящуюся вам игрушку. Предположим, что для создания одной игрушки требуется использовать 100 кирпичиков. Тогда для создания двух таких игрушек уже потребуется 200 кирпичиков, для трех игрушек - 300 кирпичиков, и т.д.

Зависимость числа игрушек от числа используемых кирпичиков можно выразить при помощи следующеего уравнения:

$$\begin{array}{r}y=0,01x\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$

где $y$ отражает число созданных игрушек при использовании $x$ кирпичиков, а константа $0,01$ подчеркивает тот факт, что для того, чтобы создать одну игрушку ($y=1$), потребуется использовать 100 кирпичиков ($x=100$).

В уравнении (1) символьное имя $y$ используется не для обозначения одного конкретного числа созданных игрушек (например, одной игрушки), а для описания переменного характера данной величины, то есть $y$ может принимать различные значения. То же самое можно сказать и про символьное имя $x$, используемое для описания переменного характера величины, показывающей, сколько было использовано кирпичиков во время создания игрушек. Иначе говоря, $y$ и $x$ - переменные.

Также необходимо отметить, что в уравнении (1) вместо указания конкретного значения для константы $0,01$ мы могли бы тоже использовать символьное имя, например $a$, тогда бы уравнение имело следующий вид:

$$\begin{array}{rl}y& =ax,\\ a& =const\end{array}\text{\hspace{1em}(2)()}$$

Подытожим:

1. $y$ и $x$ - переменные. Область изменения переменной есть совокупность некоторых чисел.
2. $a$ - константа. Областью изменения константы является фиксированное число.

Переменные в математической логике

Понятие синтаксической переменной

Когда речь заходит о математической логике, то уже говорят не об обычных переменных, а о синтаксических переменных. Это объясняется тем, что в математической логике необходимо различать синтаксический и семантический аспекты проводимых исследований. Изучение аксиом и теорем с точки зрения их формы называется синтаксическим изучением аксиоматических систем. Изучение смысла аксиом и теорем называется семантическим изучением аксиоматических систем.

Мы всегда рассматриваем аксиомы и теоремы с точки зрения их формы, то есть как синтаксические объекты. Ничто нам не мешает при этом изучать синтаксические объекты так же, как мы изучаем переменные в уравнениях из школьной математики, но только в случае математической логики подобные переменные уже будут именоваться синтаксическими переменными.

Синтаксическая переменная - это переменная, чья область изменения состоит из любых выражений изучаемого (предметного) языка.

Как записываются синтаксические переменные в выражениях языка?

Предположим, что $\mathbf{u}$ и $\mathbf{v}$ - синтаксические переменные. Имена синтаксических переменных будем записывать через строчные буквы с использованием жирного курсива. Жирный курсив необходим, чтобы отличать конкретные значения (выражения) переменных от самих синтаксических переменных. Например, мы можем записать содержимое синтаксической переменной как "$\mathbf{u}=hello$", или, например, "$\mathbf{u}=u$", где $\mathbf{u}$ - синтаксическая переменная (записана жирным курсивом), а $u$ - её значение (записано обычным курсивом).

Обычно, в математике выражение "$xy$" обозначает результат умножения $x$ на $y$. В случае математической логики выражение "$\mathbf{uv}$" будет обозначать сцепление синтаксических переменных $\mathbf{u}$ и $\mathbf{v}$, то есть последовательное написание выражений для $\mathbf{u}$ и $\mathbf{v}$. Например, если "$\mathbf{u}=hello$" и "$\mathbf{v}=world$", то "$\mathbf{uv}=helloworld=\mathbf{u}world=hello\mathbf{v}$".

---

ВПЕРЁД ⇒

Формулы языка

⇐ НАЗАД

Выражения языка и их символы

---

Источники

• Дж. Шенфилд “Математическая логика”. Глава 1 “Природа математической логики”, параграф 2 “Формальные системы” (стр. 13-19).
• Дж. Шенфилд “Математическая логика”. Глава 1 “Природа математической логики”, параграф 3 “Синтаксические переменные” (стр. 19-22).

Категория

Математическая-логика Математическая-логика

Теги

• Логика Логика
• Переменная Переменная
• Синтаксическая-переменная Синтаксическая-переменная
• Синтаксическое-изучение Синтаксическое-изучение
• Семантическое-изучение Семантическое-изучение
• Аксиоматическая-система Аксиоматическая-система
• Курсив Курсив
• Жирный-курсив Жирный-курсив
• Сцепление Сцепление
• Выражение Выражение
• Выражение-языка Выражение-языка
• Область-изменения Область-изменения
• Символ Символ
• Константа Константа
• Аксиома Аксиома
• Теорема Теорема