ВПЕРЁД ⇒
⇐ НАЗАД
Аксиоматическая система
Теперь, когда мы знаем, что собой представляют традиционная и математическая логики, у нас появляются возможности для построения аксиоматических систем.
Если говорить неформальным языком, то аксиоматическая система - это “здание”, выстраиваемое математиком и состоящее из “блоков”: основных и производных понятий, аксиом и теорем. Для построения подобного “здания” математик действует следующим образом:
- Он предлагает нам некоторые основные понятия и аксиомы об этих понятиях.
- Он объясняет нам эти понятия до тех пор, пока мы не поймём их достаточно хорошо, чтобы увидеть, что аксиомы являются истинными.
- Он переходит к определению производных понятий и доказывает теоремы об основных и производных понятиях.
Составленная таким образом система пока что ещё хранит в себе семантическую составляющую, то есть из этой системы пока что ещё не отброшен смысловой аспект понятий, аксиом и теорем. Конечной нашей целью является составление подобной системы таким образом, чтобы в ней остался только синтаксический аспект понятий, аксим и теорем (то есть осталась только некоторая символическая/математическая форма записи понятий, аксиом и теорем на бумаге), семантический же аспект (смысл всех суждений) никак не должен учитываться системой, то есть должен быть отброшен. В конечном итоге понятие аксиоматической системы должно быть сведено к понятию формальной системы (смысл и состав этого понятия будут рассмотрены позже).
ВПЕРЁД ⇒
⇐ НАЗАД
Источники
- Дж. Шенфилд “Математическая логика”. Глава 1 “Природа математической логики”, параграф 1 “Аксиоматические системы” (стр. 11-13).
Категория
Теги