ВПЕРЁД ⇒
⇐ НАЗАД
Формулы языка
Понятие формулы языка
В русском языке из любых слов можно составлять как бессмысленные выражения (например, “зелёный кипит большими секундами при тридцати метрах”), так и осмысленные (например, “какое сейчас точное время?”). Среди осмысленных выражений есть и повествовательные предложения, которые утверждают некоторый факт (например, “в нормальных условиях вода кипит при 100 градусах”). Мы будем называть в языке любые утверждающие выражения формулами этого языка (поскольку они будут выражаться с помощью математической символики).
Обратите внимание
Язык считается полностью определённым, когда определены все его символы и формулы.
Связь аксиом и теорем с формулами языка
Любая аксиома является формулой языка аксиоматической системы. Из аксиом, при помощи правил вывода, могут быть получены теоремы . Теоремы тоже являются формулами языка. Из теорем, по некоторым правилам вывода, также могут быть получены другие теоремы. Теорема - это результат преобразования (по правилу вывода) некоторых входных формул (являющихся теоремами, дробящимяся на другие формулы, или являющихся аксиомами, не дробящимися на другие формулы) в некоторую выходную формулу (которая и является результатом данного преобразования, то есть теоремой).
Обратите внимание
Предполагается, что при выводе теорем любые аксиомы и теоремы являются формулами языка. Но это не значит обратное, что любая формула языка является аксиомой или теоремой. Аксиомы по своей природе являются истинными утверждениями. Если правило вывода составлено корректно, то и теорема, выводимая из этих аксиом, тоже будет истинным утверждением. Таким образом, аксиомы и все последовательно выводимые из них теоремы являются истинными утверждениями. Однако, формулы языка могут состоять как из истинных утверждений, так и из ложных утверждений. Поэтому, все возможные аксиомы и теоремы языка являются только некоторой частью всех возможных формул этого языка.
Примечание
Мы можем обобщить понятие теоремы:
Любая теорема - это формула, представляющая собой истинное утверждение. Теорема обычно выводится из некоторых других входных теорем. Но если входные теоремы сами по себе не выводятся из никаких других теорем, то эти входные теоремы являются аксиомами. Таким образом, любая аксиома - это тоже теорема (которая сама по себе является элементарной и не может быть выведена из других теорем/аксиом).
Связь посылок и заключений с формулами языка
В логике нас интересуют:
- Форма (синтаксис) рассуждений (формул), а не их содержание (семантика).
- Правила вывода теорем из аксиом и других теорем.
Хотя нас и интересует выводимость теорем из аксиом и других теорем, однако, при этом, мы должны понимать, что существует ненулевая вероятность возникновения ситуации, когда кто-либо будет пытаться выводить теоремы не из аксиом (или других теорем), а из ложных суждений-посылок. По этой причине, при обсуждении выводимости, мы говорим не просто об аксиомах и теоремах, а о формулах языка в целом (то есть о посылках и заключениях, которые могут быть как истинными, так и ложными).
Примечание
Любое правило вывода утверждает, что, при некоторых условиях, одна формула, называемая заключением правила, может быть выведена из некоторых других формул, называемых посылками правила. Если при этом все посылки правила являются теоремами, то и заключение этого правила является теоремой.
Ограничение формулами языка области изменения синтаксической переменной
Ранее уже говорилось, что областью изменения синтаксической переменной являются любые выражения изучаемого (предметного) языка, при этом синтаксические переменные обозначаются строчными курсивно-жирными буквами (например, и ). Таким образом, синтаксическая переменная может содержать не только утверждения (формулы), но и любые выражения-вопросы. Однако, в логике нас интересует выводимость заключений из посылок (то есть выводимость одних формул из других). Поэтому мы можем ограничить область изменения синтаксической переменной одними лишь формулами (утверждениями) языка. , , , (и т.д.) будут обозначать синтаксические переменные, области изменения которых состоят из формул. Новые синтаксические переменные можно образовывать путем добавления штрихов и индексов к уже существующим синтаксическим переменным, при этом новые переменные будут иметь те же области изменения, что и старые переменные. Таким образом, к примеру, и будут обозначать синтаксические переменные, областями изменения которых является та же область, что и у синтаксической переменной .
ВПЕРЁД ⇒
⇐ НАЗАД
Источники
- С. Клини “Математическая логика”. Глава 1 “Исчисление высказываний”, параграф 1 “Лингвистические соображения; формулы” (стр. 11-17).
- Дж. Шенфилд “Математическая логика”. Глава 1 “Природа математической логики”, параграф 2 “Формальные системы” (стр. 13-19).
- Дж. Шенфилд “Математическая логика”. Глава 1 “Природа математической логики”, параграф 3 “Синтаксические переменные” (стр. 19-22).
Категория
Теги