🖥️ Математика, Информатика и Инженерия ПО

01. Традиционная и математическая логики

время чтения ~12 мин.

ВПЕРЁД ⇒

Аксиоматическая система

⇐ НАЗАД

Традиционная и математическая логики


Традиционная и математическая логики

Традиционная логика и её связь с математической логикой

Термин "логика" происходит от греческого слова "логос", что означает "мысль", "разум", "слово", "понятие".

Традиционная логика

Определение традиционной логики

Традиционная логика - наука, изучающая формы и законы мышления, методы, с помощью которых люди делают выводы. Логика занимается анализом методов рассуждений, то есть изучает умозаключения. Изучая эти методы, логика интересуется в первую очередь формой доводов, а не их содержанием в том или ином рассуждении. Иначе говоря, логика интересуется, в каком формальном виде можно записать доводы на доске и бумаге, или в каком-нибудь электронном документе/книге, но самим смысловым содержанием доводов логика не интересуется.

Посылки, заключения, их форма и содержание

Для пояснения различия между формой и содержанием рассмотрим примеры двух рассуждений, каждое из которых состоит из нескольких посылок (то есть суждений, из которых выводится некоторое другое суждение) и одного заключения (то есть суждения, выведенного из некоторых суждений-посылок). Примеры рассуждений представлены в виде таблицы: в первом столбце приведены посылки и заключение первого рассуждения; во втором столбце - посылки и заключение второго рассуждения.

Рассуждение №1Рассуждение №2
Все братья носят одну и ту же фамилию (посылка №1)Все кролики одной породы имеют одинаковую длину ушей (посылка №1)
Павел и Иван - братья (посылка №2)Белка и Стрелка - кролики одной породы (посылка №2)
Иван носит фамилию Максимов (посылка №3)Стрелка имеет короткие уши (посылка №3)
Следовательно, Павел носит фамилию Максимов (Заключение)Следовательно, Белка имеет короткие уши (Заключение)

Оба эти рассуждения могут быть сведены к одной общей форме записи:

Общая форма записи рассужденийРассуждение №1Рассуждение №2
Все являются Все братья являются персонами, носящими одну и ту же фамилиюВсе кролики одной породы являются животными, имеющими одинаковую длину ушей
и являются Павел и Иван являются братьямиБелка и Стрелка являются кроликами одной породы
является Иван является персоной, носящей фамилию МаксимовСтрелка является животным, имеющим короткую длину ушей
Следовательно, является Следовательно, Павел является персоной, носящей фамилию МаксимовСледовательно, Белка является животным, имеющим короткую длину ушей

Если бы нас, как логиков, интересовало содержание суждений, то нам было бы важно получить ответы на такие вопросы, как:

  1. Действительно ли все братья носят одну и ту же фамилию, а все кролики одной породы имеют одинаковую длину ушей?
  2. А что, если Павел и Иван - не братья, а Белка и Стрелка - не кролики одной породы?
  3. А точно ли Иван носит фамилию Максимов, а, к примеру, не Владимиров, и действительно ли у Стрелки короткие уши?

Нас же интересует только форма суждений, а не их содержание, то есть учёного-логика не интересует, являются ли на самом деле истинными или ложными конкретные посылки и заключения. Логик желает лишь знать, будут ли корректными логические связи между посылками и заключениями в случаях, когда на месте этих посылок и заключений находятся истинные суждения, то есть будет ли из истинности посылок следовать истинность заключения.

Математическая логика и препятствия, с которыми она сталкивается

Определение математической логики

Математическая логика - логика, развиваемая при помощи математических методов. Если традиционная логика изучает умозаключения, то математическая логика изучает те типы умозаключений, которыми пользуются математики. Когда говорят, что предметом занятий учёного-логика является математическая логика, то подразумевают, что:

  • его исследования посвящены в первую очередь изучению математических рассуждений;
  • при выполнении исследований логик применяет математический аппарат.

Цель математической логики состоит в том, чтобы дать точное и адекватное определение понятия "математическое доказательство". Говоря простыми словами: математическая логика объясняет нам, что из чего следует в математических суждениях.

Препятствия на пути изучения математической логики

Итак, мы собираемся изучать математическую логику при помощи некоторого математического аппарата. Но в этот момент мы сталкиваемся с определёнными препятствиями на пути нашего изучения.

Проблема наличия противоречий в суждениях

​Мы ещё только планируем начать изучение математической логики, но в наших суждениях о том, как можно было бы проводить требуемые исследования, уже возникает противоречие:

  • С одной стороны, перед тем, как начать выполнять исследование логики, требуется подобрать правильный инструмент (математический аппарат), при помощи которого будет проводиться целевое исследование.
  • С другой стороны, процесс подбора правильного инструмента (математического аппарата) предполагает выстраивание цепочки логических рассуждений, при помощи которых обосновывается/доказывается необходимость использования инструмента конкретного вида. Иными словами, математический аппарат формируется при помощи логики.

Возникает странная ситуация: нам нужно исследовать логику, но в основе математического аппарата, при помощи которого будет проводиться исследование, будет лежать тоже логика. Если оперировать аналогиями, то всё выглядит так, словно мы собираемся при помощи линейки измерять длину этой же самой линейки. Но так не бывает, ведь при помощи линейки мы можем выполнять измерения только других объектов. Нужно как-то устранить возникшие противоречия. Спойлер: если всё так же оперировать теми же самыми аналогиями, то далее мы покажем, что для обхода подобной проблемы нам необходимо ввести в рассмотрение ещё одну линейку, независимую, которая получила сертификат метрологической поверки о том, что она выполняет все измерения с требуемой точностью (этот сертификат даёт разрешение инженерам использовать данную линейку для определения размеров других объектов, и полученные измерения будут считаться корректными/объективными). Благодаря этой поверенной линейке мы сможем точно измерить длину исходной целевой линейки, и тогда никакого противоречия наблюдаться не будет. Говоря прямым языком (без аналогий), нам нужно ввести в рассмотрение два независимых вида логики: первая логика - целевая, которую необходимо исследовать при помощи математического аппарата; вторая логика - та, при помощи которой будет выбираться/создаваться требуемый математический аппарат.

Сначала более подробно рассмотрим, что же вообще собой представляют противоречия. В математической логике противоречия тесно связаны с понятием парадокса. Для того, чтобы дать определение понятию парадокс и наглядно продемонстрировать смысл этого понятия, сначала переформулируем указанное выше противоречие через цепочку связанных суждений:

  1. Суждение/посылка №1. Исследование логики выполняется при помощи математического аппарата (то есть из наличия математического аппарата следует возможность выполнять исследование некоторой логики). Полагаем, что данное высказывание - истинное (то есть полагается, что для высказывания имеются некоторые убедительные аргументы, свидетельствующие в пользу истинности этого высказывания).

  2. Суждение/посылка №2. В основе математического аппарата лежит логика (то есть из наличия некоторой логики следует возможность построения для этой логики математического аппарата). Здесь (аналогично посылке №1) полагаем, что высказывание - истинное.

  3. Заключение. Поскольку из логики следует математический аппарат (посылка №2), а из математического аппарата следует логика (посылка №1), то можем заключить, что из логики следует логика (то есть логика исследуется при помощи логики, что вроде бы противоречит здравому смыслу).

​Подобная цепочка из суждений, приводящих в заключении к противоречию, в математической логике именуется парадоксом.

​Парадокс - это формально-логические противоречия, возникающие при сохранении логической правильности рассуждения. Парадокс возникает, когда два несовместимых суждения (в нашем случае этими суждениями являются посылки №№1-2) оказываются в равной мере доказуемыми. Говоря проще, парадокс - это рассуждение, содержашее внутри себя ряд несовместимых суждениё, причём для каждого в отдельности несовместимого суждения имеются убедительные аргументы, свидетельствующие в пользу корректности данного несовместимого суждения.

Противоречивость/несовместимость двух суждений означает, что только одно из них может быть корректным/применимым в контексте рассуждения.

​Существование логической ошибки в парадоксе объясняется неверным выбором логических посылок. Принимая данное утверждение во внимание, чуть позже в формулировке задачи изучения математической логики выполним замену существующих логических посылок на более подходящие, благодаря чему исходное противоречие будет устранено.

Парадокс лжеца как пример противоречия в суждениях

​Одним из наиболее известных парадоксов является парадокс лжеца: “Я лгу”.

​Предположим, что приведённое высказывание было произнесено, к примеру, Иваном.

Для того, чтобы осознать причину, почему данное высказывание является парадоксом, вспомним, что парадокс предполагает наличие двух несовместимых суждений. Откуда в высказывании “Я лгу” могут взяться два несовместимых/противоречивых суждения? Давайте разбираться.

Когда человек произносит какое-либо высказывание, то это означает необходимость анализа сказанных им слов с двух позиций (двух независмых точек зрения): оценивания качеств субъекта высказывания (то есть анализа качеств человека, произносящего слова); оценивания качеств объекта высказавания (то есть анализа качеств самих произнесённых слов). Попробуем переформулировать исходное высказывание при помощи двух суждений:

  • Суждение №1 (характеризует субъект высказывания, то есть человека). Мы ожидаем, что Иван изрекает правду (в противном случае отсутствовал бы смысл пытаться понять суть любой сказанной Иваном фразы, ведь не было бы веры ни одному слову Ивана). Фактически суждение №1 утверждает, что изрекаемое Иваном суждение №2 является правдой.
  • Суждение №2 (характеризует объект высказывания, то есть произнесённые слова). Суждение №2 представляет собой само высказывание “Я лгу” и в контексте примера расшифровывается как “Иван изрекает ложь”. Фактически суждение №2 утверждает, что суждение №1 является ложным.

Противоречие (парадокс) кроется в том, что оба суждения по-разному трактуют истинностные качества друг друга: суждение №1 считает суждение №2 истинным, а суждение №2 считает суждение №1 ложным. То есть, если мы полагаем, что суждение №1 является правдой, то из его правдивости следует, что и суждение №2 тоже является правдой, а из правдивости суждения №2, в свою очередь, следует, что суждение №1 является ложью, и это противоречит нашему исходному предположению о суждении №1 (что оно является правдой). С другой стороны, если мы полагаем, что суждение №1 является ложью, то из его ложности следует, что и суждение №2 тоже является ложью, а из ложности суждения №2, в свою очередь, следует, что суждение №1 является правдой, и это снова противоречит нашему исходному предположению о суждении №1 (что оно является ложью).

Обратите внимание

​Высказывание “Я не лгу” не является парадоксом.

Попробуем переформулировать исходное высказывание при помощи двух суждений:

  • Суждение №1 (характеризует субъект высказывания, то есть человека). Мы ожидаем, что Иван изрекает правду (в противном случае отсутствовал бы смысл пытаться понять суть любой сказанной Иваном фразы, ведь не было бы веры ни одному слову Ивана). Фактически суждение №1 утверждает, что изрекаемое Иваном суждение №2 является правдой.
  • Суждение №2 (характеризует объект высказывания, то есть произнесённые слова). Суждение №2 представляет собой само высказывание “Я не лгу” и в контексте примера расшифровывается как “Иван изрекает правду”. Фактически суждение №2 утверждает, что суждение №1 является истинным.

Оба суждения считают друг друга истинными. Если мы полагаем, что суждение №1 является правдой, то из его правдивости следует, что и суждение №2 тоже является правдой, а из правдивости суждения №2, в свою очередь, следует, что суждение №1 всё ещё является правдой (то есть это не противоречит нашему исходному предположению о суждении №1). Аналогично, если мы полагаем, что суждение №1 является ложью, то из его ложности следует, что и суждение №2 тоже является ложью, а из ложности суждения №2, в свою очередь, следует, что суждение №1 всё ещё является ложью (то есть это снова не противоречит нашему исходному предположению о суждении №1).

Поскольку мы знаем, что существование логической ошибки в любом парадоксе объясняется неверным выбором логических посылок, то для разрешения парадокса лжеца необходимо определить, в чём заключается ошибочность выбранных посылок:

Существование парадокса возможно лишь только по той причине, что мы считаем, что в суждении №2 оценивается истинность суждения №1. На самом деле суждение №2 “Я лгу” может быть применимо только к описанию некоторой конкретной ситуации, а не для описания характеристики субъекта высказывания в целом. То есть высказывание “Я лгу” бесмыссленно употреблять в качестве синонима высказываниям “Я лгу абсолютно обо всём”, “Я лгу прямо сейчас”. Высказывание “Я лгу” уместно употреблять только в качестве синонима высказываниям вида “Я лгу о некоторой вещи в определённых ситуациях”, то есть человек лжёт не в текущий момент времени (в момент произнесения высказывания “Я лгу”), а только когда в разговоре возникает определённая ситуация (когда речь заходит о конкретной вещи, правду о которой человек хочет утаить), и, конечно же, ложные высказывания о ситуации/вещи не будут содержать в себе фразы, подобные фразе “Сейчас я лгу о …”, вместо этого будет произноситься целевое ложное высказывание, посредством которого выполняется сокрытие правды.

Проблема недоказуемости исходных законов

​В математике невозможно доказать все законы. Изначальные законы, принимаемые математикой, являются недоказуемыми, так как отсутствуют более ранние законы, из которых могли бы быть выведены изначальные законы.

Что в математической логике помогает обходить препятствия?

Исследуемая и исследующая логики

Избавиться от проблемы наличия противоречий в суждениях можно, разделив понятия исследуемой/объектной/предметной логики (той, которую изучаем) и исследующей/субъектной логики (той, при помощи которой изучаем). Для этого нам придётся различать языки, при помощи которых формулируются логики.

Предметный язык и язык исследователя

Исследуемым/объектным/предметным языком будем называть язык, при помощи которого формулируется исследуемая логика. Этот язык и связанная с ним логика являются предметом (объектом) нашего изучения.

Исследующим языком/субъектным языком/языком исследователя будем называть язык, при помощи которого формулируется исследующая логика. При помощи субъектного языка исследуется объектный язык.

Теперь мы можем в проблеме наличия противоречий в суждениях переписать логические посылки и заключение:

  1. Суждение/посылка №1. Исследование предметной логики выполняется при помощи математического аппарата.
  2. Суждение/посылка №2. В основе математического аппарата лежит логика исследователя.
  3. Заключение. Поскольку из логики исследователя следует математический аппарат (посылка №2), а из математического аппарата следует предметная логика (посылка №1), то можем заключить, что из логики исследователя следует предметная логика (парадокса в подобном заключении более не наблюдается).

Аксиомы и теоремы

Для обхода в математике проблемы недоказуемости исходных законов поступают таким образом:

  • выбираются некоторые начальные законы (очевидные для нас по самой природе рассматриваемых понятий), называемые аксиомами, которые принимаются без доказательства;
  • остальные законы, называемые теоремами, доказываются, исходя из аксиом.

Основные и производные понятия

Аналогичным образом поступают и с вводимыми в использование математическими понятиями. Исходные понятия не могут быть определены по причине того, что нет более ранних понятий, в терминах которых эти первые понятия можно было бы определить. Поэтому выбираются некоторые понятия (простые и ясные), называемые основными понятиями, которые остаются неопределёнными. Остальные понятия, называемые производными понятиями, определяются в терминах основных понятий.


ВПЕРЁД ⇒

Аксиоматическая система

⇐ НАЗАД

Традиционная и математическая логики


Вид графа

Обратные ссылки