ВПЕРЁД ⇒
⇐ НАЗАД
Традиционная и математическая логики
Традиционная логика и её связь с математической логикой
Термин "логика" происходит от греческого слова "логос", что означает "мысль", "разум", "слово", "понятие".
Традиционная логика
Определение традиционной логики
Традиционная логика - наука, изучающая формы и законы мышления, методы, с помощью которых люди делают выводы. Логика занимается анализом методов рассуждений, то есть изучает умозаключения. Изучая эти методы, логика интересуется в первую очередь формой доводов, а не их содержанием в том или ином рассуждении. Иначе говоря, логика интересуется, в каком формальном виде можно записать доводы на доске и бумаге, или в каком-нибудь электронном документе/книге, но самим смысловым содержанием доводов логика не интересуется.
Посылки, заключения, их форма и содержание
Для пояснения различия между формой и содержанием рассмотрим примеры двух рассуждений, каждое из которых состоит из нескольких посылок (то есть суждений, из которых выводится некоторое другое суждение) и одного заключения (то есть суждения, выведенного из некоторых суждений-посылок). Примеры рассуждений представлены в виде таблицы: в первом столбце приведены посылки и заключение первого рассуждения; во втором столбце - посылки и заключение второго рассуждения.
| Рассуждение №1 | Рассуждение №2 |
|---|---|
| Все братья носят одну и ту же фамилию (посылка №1) | Все кролики одной породы имеют одинаковую длину ушей (посылка №1) |
| Павел и Иван - братья (посылка №2) | Белка и Стрелка - кролики одной породы (посылка №2) |
| Иван носит фамилию Максимов (посылка №3) | Стрелка имеет короткие уши (посылка №3) |
| Следовательно, Павел носит фамилию Максимов (Заключение) | Следовательно, Белка имеет короткие уши (Заключение) |
Оба эти рассуждения могут быть сведены к одной общей форме записи:
| Общая форма записи рассуждений | Рассуждение №1 | Рассуждение №2 |
|---|---|---|
| Все являются | Все братья являются персонами, носящими одну и ту же фамилию | Все кролики одной породы являются животными, имеющими одинаковую длину ушей |
| и являются | Павел и Иван являются братьями | Белка и Стрелка являются кроликами одной породы |
| является | Иван является персоной, носящей фамилию Максимов | Стрелка является животным, имеющим короткую длину ушей |
| Следовательно, является | Следовательно, Павел является персоной, носящей фамилию Максимов | Следовательно, Белка является животным, имеющим короткую длину ушей |
Если бы нас, как логиков, интересовало содержание суждений, то нам было бы важно получить ответы на такие вопросы, как:
- Действительно ли все братья носят одну и ту же фамилию, а все кролики одной породы имеют одинаковую длину ушей?
- А что, если Павел и Иван - не братья, а Белка и Стрелка - не кролики одной породы?
- А точно ли Иван носит фамилию Максимов, а, к примеру, не Владимиров, и действительно ли у Стрелки короткие уши?
Нас же интересует только форма суждений, а не их содержание, то есть учёного-логика не интересует, являются ли на самом деле истинными или ложными конкретные посылки и заключения. Логик желает лишь знать, будут ли корректными логические связи между посылками и заключениями в случаях, когда на месте этих посылок и заключений находятся истинные суждения, то есть будет ли из истинности посылок следовать истинность заключения.
Математическая логика и препятствия, с которыми она сталкивается
Определение математической логики
Математическая логика - логика, развиваемая при помощи математических методов. Если традиционная логика изучает умозаключения, то математическая логика изучает те типы умозаключений, которыми пользуются математики. Когда говорят, что предметом занятий учёного-логика является математическая логика, то подразумевают, что:
- его исследования посвящены в первую очередь изучению математических рассуждений;
- при выполнении исследований логик применяет математический аппарат.
Цель математической логики состоит в том, чтобы дать точное и адекватное определение понятия "математическое доказательство". Говоря простыми словами: математическая логика объясняет нам, что из чего следует в математических суждениях.
Препятствия на пути изучения математической логики
Итак, мы собираемся изучать логику при помощи математического аппарата. Но в этот момент мы сталкиваемся с определёнными препятствиями на пути нашего изучения.
Препятствие №1
Мы сталкиваемся с противоречием: если мы хотим математическим аппаратом исследовать логику, то для достижения поставленной цели нам придётся пользоваться всё той же логикой. Если оперировать аналогиями, то всё выглядит так, словно мы собираемся при помощи линейки измерить длину этой же линейки. Но так не бывает, ведь при помощи линейки мы можем выполнять измерения только других объектов. Спойлер: если всё так же оперировать теми же самыми аналогиями, то далее мы покажем, что для обхода подобной проблемы нам необходимо ввести в рассмотрение ещё одну линейку, независимую, которая получила сертификат метрологической поверки о том, что она выполняет все измерения с требуемой точностью (этот сертификат даёт разрешение инженерам использовать данную линейку для определения размеров других объектов, и полученные измерения будут считаться корректными/объективными). Благодаря этой поверенной линейке мы сможем точно измерить длину исходной целевой линейки, и тогда никакого противоречия наблюдаться не будет.
Сначала более подробно рассмотрим, что же вообще собой представляют противоречия. В математической логике противоречия тесно связаны с понятием парадокса. Для того, чтобы дать определение понятию парадокс и наглядно продемонстрировать смысл этого понятия, сначала переформулируем указанное выше противоречие через цепочку связанных суждений:
-
Суждение/посылка №1. Исследование логики выполняется при помощи математического аппарата (то есть из наличия математического аппарата следует возможность выполнять исследование некоторой логики). Полагаем, что данное высказывание - истинное (то есть полагается, что для высказывания имеются некоторые убедительные аргументы, свидетельствующие в пользу истинности этого высказывания).
-
Суждение/посылка №2. В основе математического аппарата лежит логика (то есть из наличия некоторой логики следует возможность построения для этой логики математического аппарата). Здесь (аналогично посылке №1) полагаем, что высказывание - истинное.
-
Заключение. Поскольку из логики следует математический аппарат (посылка №2), а из математического аппарата следует логика (посылка №1), то можем заключить, что из логики следует логика (то есть логика исследуется при помощи логики, что вроде бы противоречит здравому смыслу).
Подобная цепочка из суждений, приводящих в заключении к противоречию, в математической логике именуется парадоксом.
Парадокс - это формально-логические противоречия, возникающие при сохранении логической правильности рассуждения. Парадокс возникает, когда два взаимоисключающих суждения (в нашем случае этими суждениями являются посылки №№1-2) оказываются в равной мере доказуемыми. Говоря проще, парадокс - это два противоположных, несовместимых суждения, для каждого из которых имеются кажущиеся убедительными аргументы.
Существование логической ошибки в парадоксе объясняется неверным выбором логических посылок. Принимая данное утверждение во внимание, чуть позже в препятствии №1 выполним замену логических посылок на более подходящие, благодаря чему препятствие будет устранено.
Парадокс лжеца как пример противоречия в суждениях
Одним из наиболее известных парадоксов является
парадокс лжеца: “Я лгу”.Предположим, что приведённое высказывание (произнесённое, например, Иваном) является истинным. Возникает ситуация, когда истинное высказывание (то есть мы полагаем, что Иван рассказывает нам правду) утверждает, что оно - ложное (поскольку по смыслу аналогом для высказывания “Я лгу” является высказывание “Любое из моих утверждений - ложное”). Получается, что высказывание с одной стороны является истинным, а сдругой - ложным, чего не может быть. Таким образом, наблюдается противоречие.
Теперь предположим, что приведённое высказывание является ложным, то есть Иван говорит нам неправду. О чём же Иван говорит неправду? О том, что он лжёт. Выходит, что на самом деле Иван нам говорит правду? Снова наблюдается противоречие (Иван одновременно говорит и неправду, и правду), чего не может быть.
Обратите внимание
Высказывание “Я не лгу” не является парадоксом.
Если предположить, что высказывание - истинное, то приходим к тому, что истинное высказывание утверждает, что оно - правдиво. Таким образом, из правды получаем подтверждение этой правды. Противоречий не наблюдается.
Если же высказывание - ложное, то оно лжёт нам о своём содержимом. В данном случае содержимым ложного высказывания будет утверждение, что это высказывание является истинным (высказывание лжёт нам о своей истинности). Но ведь лгать о своей истинности - это и есть проявление своей ложной сущности. Таким образом, из лжи получаем подтверждение этой лжи. Снова противоречий не наблюдается.
Препятствие №2
В математике невозможно доказать все законы. Изначальные законы, принимаемые математикой, являются недоказуемыми, так как отсутствуют более ранние законы, из которых могли бы быть выведены изначальные законы.
Что в математической логике помогает обходить препятствия?
Исследуемая и исследующая логики
Избавиться от первого препятствия можно, разделив понятия исследуемой/объектной/предметной логики (той, которую изучаем) и исследующей/субъектной логики (той, при помощи которой изучаем). Для этого нам придётся различать языки, при помощи которых формулируются логики.
Предметный язык и язык исследователя
Исследуемым/объектным/предметным языком будем называть язык, при помощи которого формулируется исследуемая логика. Этот язык и связанная с ним логика являются предметом (объектом) нашего изучения.
Исследующим языком/субъектным языком/языком исследователя будем называть язык, при помощи которого формулируется исследующая логика. При помощи субъектного языка исследуется объектный язык.
Теперь мы можем в первом препятствии переписать его логические посылки:
- Суждение/посылка №1. Исследование предметной логики выполняется при помощи математического аппарата.
- Суждение/посылка №2. В основе математического аппарата лежит логика исследователя.
- Заключение. Поскольку из логики исследователя следует математический аппарат (посылка №2), а из математического аппарата следует предметная логика (посылка №1), то можем заключить, что из логики исследователя следует предметная логика (парадокса в подобном заключении более не наблюдается).
Аксиомы и теоремы
Для обхода в математике второго препятствия (проблемы недоказуемости исходных законов) поступают таким образом:
- выбираются некоторые начальные законы (очевидные для нас по самой природе рассматриваемых понятий), называемые
аксиомами, которые принимаются без доказательства; - остальные законы, называемые
теоремами, доказываются, исходя из аксиом.
Основные и производные понятия
Аналогичным образом поступают и с вводимыми в использование математическими понятиями. Исходные понятия не могут быть определены по причине того, что нет более ранних понятий, в терминах которых эти первые понятия можно было бы определить. Поэтому выбираются некоторые понятия (простые и ясные), называемые основными понятиями, которые остаются неопределёнными. Остальные понятия, называемые производными понятиями, определяются в терминах основных понятий.
ВПЕРЁД ⇒
⇐ НАЗАД
Источники
- С. Клини “Математическая логика”. Глава 1 “Исчисление высказываний”, параграф 1 “Лингвистические соображения; формулы” (стр. 11-17).
- Э. Мендельсон “Введение в математическую логику”. Глава 0 “Введение” (стр. 7-18).
- Дж. Шенфилд “Математическая логика”. Глава 1 “Природа математической логики”, параграф 1 “Аксиоматические системы” (стр. 11-13).
Категория
Теги
- Логика Логика
- Традиционная-логика Традиционная-логика
- Посылка Посылка
- Заключение Заключение
- Противоречие Противоречие
- Парадокс Парадокс
- Рассуждение Рассуждение
- Высказывание Высказывание
- Истина Истина
- Ложь Ложь
- Исследуемая-логика Исследуемая-логика
- Исследующая-логика Исследующая-логика
- Язык Язык
- Предметный-язык Предметный-язык
- Исследуемый-язык Исследуемый-язык
- Объектный-язык Объектный-язык
- Язык-исследователя Язык-исследователя
- Исследующий-язык Исследующий-язык
- Субъектный-язык Субъектный-язык
- Предметная-логика Предметная-логика
- Логика-исследователя Логика-исследователя
- Аксиома Аксиома
- Теорема Теорема
- Основное-понятие Основное-понятие
- Производное-понятие Производное-понятие
- Парадокс-лжеца Парадокс-лжеца